17. (3 балла) При помощи производной исследуйте функцию f(x) = 2x³ - 3x² - 36x на промежутки возрастания, убывания и точки экстремума.

Решение:

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = (2x^3 - 3x^2 - 36x)' = 6x^2 - 6x - 36 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 6x^2 - 6x - 36 = 0 \).
3. Разделим на 6: \( x^2 - x - 6 = 0 \).
4. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 \).
5. Корни: \( x_1 = \frac{1 - 5}{2} = -2 \) и \( x_2 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \).
6. Эти точки делят числовую ось на три промежутка: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 3) \) и \( (3, +\infty) \).
7. Определим знак производной на каждом промежутке:
   • На \( (-\infty, -2) \), например, при \( x = -3 \): \( f'(-3) = 6(-3)^2 - 6(-3) - 36 = 6(9) + 18 - 36 = 54 + 18 - 36 = 36 > 0 \). Функция возрастает.
   • На \( (-2, 3) \), например, при \( x = 0 \): \( f'(0) = 6(0)^2 - 6(0) - 36 = -36 < 0 \). Функция убывает.
   • На \( (3, +\infty) \), например, при \( x = 4 \): \( f'(4) = 6(4)^2 - 6(4) - 36 = 6(16) - 24 - 36 = 96 - 24 - 36 = 36 > 0 \). Функция возрастает.
8. Точка \( x = -2 \) является точкой максимума, так как производная меняет знак с плюса на минус.
9. Точка \( x = 3 \) является точкой минимума, так как производная меняет знак с минуса на плюс.
10. Найдем значения функции в точках экстремума:
    • \( f(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 36(-2) = 2(-8) - 3(4) + 72 = -16 - 12 + 72 = 44 \).
    • \( f(3) = 2(3)^3 - 3(3)^2 - 36(3) = 2(27) - 3(9) - 108 = 54 - 27 - 108 = -81 \).

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty, -2) \) и \( (3, +\infty) \). Функция убывает на \( (-2, 3) \). Точка максимума: \( (-2, 44) \). Точка минимума: \( (3, -81) \).