12. (2 балла) Найдите область определения функции y = lg.(2x-3)(4x+6)

Решение:

Область определения логарифмической функции определяется условием, что её аргумент должен быть строго больше нуля:

\( (2x - 3)(4x + 6) > 0 \)

Решим это неравенство методом интервалов. Найдем корни уравнения \( (2x - 3)(4x + 6) = 0 \):

1. \( 2x - 3 = 0 \) \( \Rightarrow 2x = 3 \) \( \Rightarrow x = \frac{3}{2} \)

2. \( 4x + 6 = 0 \) \( \Rightarrow 4x = -6 \) \( \Rightarrow x = -\frac{6}{4} = -\frac{3}{2} \)

Теперь определим знаки произведения на интервалах, образованных корнями \( x = -\frac{3}{2} \) и \( x = \frac{3}{2} \).

• При \( x < -\frac{3}{2} \) (например, \( x = -2 \)): \( (2(-2) - 3)(4(-2) + 6) = (-4 - 3)(-8 + 6) = (-7)(-2) = 14 > 0 \)
• При \( -\frac{3}{2} < x < \frac{3}{2} \) (например, \( x = 0 \)): \( (2(0) - 3)(4(0) + 6) = (-3)(6) = -18 < 0 \)
• При \( x > \frac{3}{2} \) (например, \( x = 2 \)): \( (2(2) - 3)(4(2) + 6) = (4 - 3)(8 + 6) = (1)(14) = 14 > 0 \)

Нам нужно, чтобы произведение было больше нуля. Это происходит на интервалах \( x < -\frac{3}{2} \) и \( x > \frac{3}{2} \).

Область определения функции: \( D(y) = \left( -\infty; -\frac{3}{2} \right) \cup \left( \frac{3}{2}; +\infty \right) \).

Ответ: \( \left( -\infty; -\frac{3}{2} \right) \cup \left( \frac{3}{2}; +\infty \right) \).