12.220. а) $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n^2+1}{2n+1}-\frac{6n^3}{4n^2-1}\right)$; б) $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{2}-\frac{n^2}{2n+1}\right)$; в) $\lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)^3-(n-1)^3}{(2n+1)(n+1)}$; г) $\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^3+(3-n)^3}{n^2+1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 12.220. а) $\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n^2+1}{2n+1}-\frac{6n^3}{4n^2-1}\right)$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

а) Приведём выражение к общему знаменателю:

\[\frac{(3n^2+1)(4n^2-1)-6n^3(2n+1)}{(2n+1)(4n^2-1)}=\frac{-6n^3+n^2-1}{(2n+1)(4n^2-1)}.\]

Разделим числитель и знаменатель на $n^3$:

\[\lim_{n\to\infty}\frac{-6+\frac1n-\frac1{n^3}}{(2+\frac1n)(4-\frac1{n^2})}=-\frac{6}{8}=-\frac34.\]

б) Приведём к общему знаменателю:

\[\frac{n+1}{2}-\frac{n^2}{2n+1}=\frac{(n+1)(2n+1)-2n^2}{2(2n+1)}=\frac{3n+1}{4n+2}.\]

Делим числитель и знаменатель на $n$:

\[\lim_{n\to\infty}\frac{3+\frac1n}{4+\frac2n}=\frac34.\]

в) Раскроем скобки и сократим старшие степени:

\[(n+2)^3-(n-1)^3=9n^2+9n+9,\qquad (2n+1)(n+1)=2n^2+3n+1.\]

Делим числитель и знаменатель на $n^2$:

\[\lim_{n\to\infty}\frac{9+\frac9n+\frac9{n^2}}{2+\frac3n+\frac1{n^2}}=\frac92.\]

г) Раскроем скобки:

\[(n+1)^3+(3-n)^3=12n^2-24n+28.\]

Делим числитель и знаменатель на $n^2$:

\[\lim_{n\to\infty}\frac{12-\frac{24}{n}+\frac{28}{n^2}}{1+\frac1{n^2}}=12.\]

Ответ: а) $-\frac34$; б) $\frac34$; в) $\frac92$; г) $12$.

12.220. а) \(\lim_{n\to\infty}\left(\frac{3n^2+1}{2n+1}-\frac{6n^3}{4n^2-1}\right)\); б) \(\lim_{n\to\infty}\left(\frac{n+1}{2}-\frac{n^2}{2n+1}\right)\); в) \(\lim_{n\to\infty}\frac{(n+2)^3-(n-1)^3}{(2n+1)(n+1)}\); г) \(\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^3+(3-n)^3}{n^2+1}\).