12.222. а) $\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^{-n}}{1+3^{-n}}$; б) $\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^{-n}+3\cdot5^{-n}}{7+3^{-n}+7^{-n}}$; в) $\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+3^n}{3^n+1}$; г) $\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+3^n+4^n}{4^{n+1}+3}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 12.222. а) $\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^{-n}}{1+3^{-n}}$; б)…$ Фото задания

Accepted Answer

Используем, что при $n\to\infty$ для любого $a>1$ выполняется $a^{-n}\to0$, а если \(0

а) Поэтому

\[\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^{-n}}{1+3^{-n}}=\frac{1+0}{1+0}=1.\]

б) Все степени с отрицательными показателями стремятся к нулю:

\[\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^{-n}+3\cdot5^{-n}}{7+3^{-n}+7^{-n}}=\frac{1}{7}.\]

в) Разделим числитель и знаменатель на $3^n$:

\[\frac{2^n+3^n}{3^n+1}=\frac{\left(\frac23\right)^n+1}{1+\frac1{3^n}}\longrightarrow\frac{0+1}{1+0}=1.\]

г) Разделим числитель и знаменатель на $4^n$:

\[\frac{2^n+3^n+4^n}{4^{n+1}+3}=\frac{\left(\frac12\right)^n+\left(\frac34\right)^n+1}{4+\frac3{4^n}}\longrightarrow\frac14.\]

Ответ: а) $1$; б) $\frac17$; в) $1$; г) $\frac14$.

12.222. а) \(\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^{-n}}{1+3^{-n}}\); б) \(\lim_{n\to\infty}\frac{1+2^{-n}+3\cdot5^{-n}}{7+3^{-n}+7^{-n}}\); в) \(\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+3^n}{3^n+1}\); г) \(\lim_{n\to\infty}\frac{2^n+3^n+4^n}{4^{n+1}+3}\).