12.221. а) $\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{\sqrt{4n^2+1}}$; б) $\lim_{n\to\infty}\frac{6n+1}{\sqrt{n^2+3n+10}+3n}$; в) $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{4n^2+n+1}-2n)$; г) $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{(n+1)(n+3)}-n)$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 12.221. а) $\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{\sqrt{4n^2+1}}$; б) $\lim_{n\to\infty}\frac{6n+1}{\sqrt{n^2+3n+10}+3n}$; в)…$ Фото задания

12.221. а) $\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{\sqrt{4n^2+1}}$; б) $\lim_{n\to\infty}\frac{6n+1}{\sqrt{n^2+3n+10}+3n}$; в) $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{4n^2+n+1}-2n)$; г) $\lim_{n\to\infty}(\sqrt{(n+1)(n+3)}-n)$.

Accepted Answer

а) Вынесем $n$ из числителя и знаменателя; поскольку $n\to+\infty$, имеем $\sqrt{n^2}=n$:

\[\frac{n+1}{\sqrt{4n^2+1}}=\frac{1+\frac1n}{\sqrt{4+\frac1{n^2}}}\longrightarrow\frac12.\]

б) Разделим числитель и знаменатель на $n$:

\[\frac{6n+1}{\sqrt{n^2+3n+10}+3n}=\frac{6+\frac1n}{\sqrt{1+\frac3n+\frac{10}{n^2}}+3}\longrightarrow\frac{6}{1+3}=\frac32.\]

в) Умножим на сопряжённое выражение:

\[\sqrt{4n^2+n+1}-2n=\frac{(4n^2+n+1)-4n^2}{\sqrt{4n^2+n+1}+2n}=\frac{n+1}{\sqrt{4n^2+n+1}+2n}.\]

Разделив числитель и знаменатель на $n$, получаем:

\[\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac1n}{\sqrt{4+\frac1n+\frac1{n^2}}+2}=\frac14.\]

г) Умножим на сопряжённое выражение:

\[\sqrt{(n+1)(n+3)}-n=\frac{(n+1)(n+3)-n^2}{\sqrt{(n+1)(n+3)}+n}=\frac{4n+3}{\sqrt{n^2+4n+3}+n}.\]

Разделим числитель и знаменатель на $n$:

\[\lim_{n\to\infty}\frac{4+\frac3n}{\sqrt{1+\frac4n+\frac3{n^2}}+1}=2.\]

Ответ: а) $\frac12$; б) $\frac32$; в) $\frac14$; г) $2$.

12.221. а) \(\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{\sqrt{4n^2+1}}\); б) \(\lim_{n\to\infty}\frac{6n+1}{\sqrt{n^2+3n+10}+3n}\); в) \(\lim_{n\to\infty}(\sqrt{4n^2+n+1}-2n)\); г) \(\lim_{n\to\infty}(\sqrt{(n+1)(n+3)}-n)\).

Ответ: