12.3. В треугольнике ABC BM — медиана и BH — высота. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

Так как BM — медиана, точка M — середина AC, поэтому AM = MC = 84 : 2 = 42.

Поскольку BH — высота, треугольники BHM и BHC прямоугольные. По теореме Пифагора и условию BM = BC:

BM² = BH² + HM², BC² = BH² + HC², следовательно, HM² = HC² и HM = HC.

Значит, H — середина отрезка MC, поэтому MH = MC : 2 = 21. Тогда AH = AM + MH = 42 + 21 = 63.

Ответ: 63.