12. а) Найдите угол BOC, если ∠AOB = 140° и ∠AOC = 70°. Каким углом (острым, прямым, тупым или развёрнутым) является искомый угол? б) Луч OM — биссектриса угла AOB, равного 60°. Найдите углы AOP и BOQ, если ∠POQ = 25°, ∠MOP = 20° и ∠MOQ = 45°. в) Луч OP делит угол AOB, равный 100°, на два угла так, что 3∠AOP = 7∠BOP; луч OQ делит угол AOP на два угла так, что 3∠AOQ = 4∠POQ. Найдите угол между биссектрисами углов AOP и BOQ. г) Найдите угол AOM, если ∠AOB = 120° и ∠AOM = 2∠BOM. д) Луч OP — биссектриса угла AOB, луч OQ — биссектриса угла BOP. Найдите угол AOB, если угол между биссектрисами углов AOP и BOQ равен 75°.

а) Положение OC относительно OA и OB не указано. Если OC лежит внутри ∠AOB, то ∠BOC = 140° − 70° = 70° — острый угол. Если OA лежит между OB и OC, то ∠BOC = 140° + 70° = 210° между направленными лучами, а меньший угол между лучами равен 150° — тупой.

Ответ: 70° (если OC внутри ∠AOB) или 150° (если OA лежит между OB и OC).

б) ∠AOM = ∠MOB = 60° : 2 = 30°. Так как ∠POQ = 45° − 20° = 25°, лучи OP и OQ лежат по одну сторону от OM. Возможны два расположения:

1. Если OP и OQ находятся со стороны OB, то ∠AOP = 30° + 20° = 50°, ∠BOQ = 45° − 30° = 15°.
2. Если они находятся со стороны OA, то ∠AOP = 30° − 20° = 10°, ∠BOQ = 30° + 45° = 75°.

Ответ: (50°, 15°) или (10°, 75°), в зависимости от расположения лучей.

в) Обозначим ∠AOP = x, ∠BOP = y. Из x + y = 100° и 3x = 7y получаем x = 70°, y = 30°. Пусть ∠AOQ = u, ∠POQ = v. Тогда u + v = 70° и 3u = 4v, откуда u = 40°, v = 30°. Биссектриса ∠AOP образует с OA угол 35°. Угол BOQ равен 100° − 40° = 60°, его биссектриса образует с OA угол 70°. Угол между биссектрисами равен 70° − 35° = 35°.

Ответ: 35°.

г) Если OM лежит внутри ∠AOB, то ∠AOM + ∠BOM = 120°. Пусть ∠BOM = x; тогда 2x + x = 120°, поэтому ∠AOM = 80°. Если внутреннее расположение OM не задано, возможно и внешнее расположение: при ∠AOM = 160° имеем ∠BOM = 80°, что также удовлетворяет условию.

Ответ: 80° при внутреннем расположении OM; без этого условия возможен также ответ 160°.

д) Пусть ∠AOB = x. Так как OP — биссектриса, ∠AOP = ∠BOP = x/2. Луч OQ делит ∠BOP пополам, значит ∠BOQ = x/4. Биссектриса ∠AOP образует с OA угол x/4, а биссектриса ∠BOQ — угол x − x/8 = 7x/8. Угол между биссектрисами равен 7x/8 − x/4 = 5x/8. Поэтому 5x/8 = 75°, откуда x = 120°.

Ответ: 120°.