12. а) Среднее арифметическое двух чисел равно 30. Найдите каждое из чисел, если одно из них в 1 1/2 раза больше другого. б) Среднее арифметическое двух чисел равно 3 1/4. Найдите каждое из чисел, если одно из них

Решение задачи 12. а)

Пусть первое число равно x. Тогда второе число, которое в 1 1/2 раза больше первого, будет \( x \times 1 \frac{1}{2} \).

1. Преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

\[ 1 \frac{1}{2} = \frac{1 \times 2 + 1}{2} = \frac{3}{2} \]

Значит, второе число равно \( \frac{3}{2}x \).

2. Используем условие о среднем арифметическом:

Среднее арифметическое двух чисел равно сумме этих чисел, деленной на 2. По условию, оно равно 30.

\[ \frac{x + \frac{3}{2}x}{2} = 30 \]

3. Решаем уравнение:

\[ \frac{\frac{2x}{2} + \frac{3x}{2}}{2} = 30 \]\[ \frac{\frac{5x}{2}}{2} = 30 \]\[ \frac{5x}{4} = 30 \]\[ 5x = 30 \times 4 \]\[ 5x = 120 \]\[ x = \frac{120}{5} \]\[ x = 24 \]

4. Находим второе число:

\[ \text{Второе число} = \frac{3}{2}x = \frac{3}{2} \times 24 = 3 \times 12 = 36 \]

Проверка: Среднее арифметическое чисел 24 и 36 равно \( \frac{24+36}{2} = \frac{60}{2} = 30 \).

Ответ: Числа равны 24 и 36.

Решение задачи 12. б)

Пусть первое число равно x. Второе число в \( 1 \frac{1}{4} \) раза больше первого.

1. Переведём смешанное число в неправильную дробь:

\[ 1 \frac{1}{4} = \frac{1 \times 4 + 1}{4} = \frac{5}{4} \]

Значит, второе число равно \( \frac{5}{4}x \).

2. Используем условие о среднем арифметическом:

Среднее арифметическое равно 3 \( \frac{1}{4} \). Сначала переведём его в неправильную дробь:

\[ 3 \frac{1}{4} = \frac{3 \times 4 + 1}{4} = \frac{13}{4} \]

Теперь запишем уравнение для среднего арифметического:

\[ \frac{x + \frac{5}{4}x}{2} = \frac{13}{4} \]

3. Решаем уравнение:

\[ \frac{\frac{4x}{4} + \frac{5x}{4}}{2} = \frac{13}{4} \]\[ \frac{\frac{9x}{4}}{2} = \frac{13}{4} \]\[ \frac{9x}{8} = \frac{13}{4} \]\[ 9x = \frac{13}{4} \times 8 \]\[ 9x = 13 \times 2 \]\[ 9x = 26 \]\[ x = \frac{26}{9} \]

4. Находим второе число:

\[ \text{Второе число} = \frac{5}{4}x = \frac{5}{4} \times \frac{26}{9} = \frac{5 \times 26}{4 \times 9} = \frac{130}{36} \]

Сократим дробь \( \frac{130}{36} \) на 2:

\[ \frac{130}{36} = \frac{65}{18} \]

5. Представим результаты в виде смешанных чисел:

\[ x = \frac{26}{9} = 2 \frac{8}{9} \]\[ \text{Второе число} = \frac{65}{18} = 3 \frac{11}{18} \]

Проверка: Среднее арифметическое \( \frac{\frac{26}{9} + \frac{65}{18}}{2} = \frac{\frac{52}{18} + \frac{65}{18}}{2} = \frac{\frac{117}{18}}{2} = \frac{117}{36} = \frac{13 \times 9}{4 \times 9} = \frac{13}{4} = 3 \frac{1}{4} \). Проверка пройдена.

Ответ: Числа равны 2 8/9 и 3 11/18.