12. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной а значение дроби: 1) $ \frac{a^2 + 6a + 10}{a^2 - 10a + 25} $ положительное; 2) $ \frac{4a - 4 - a^2}{a^4 + 1} $ неположительное.

Question

Вопрос: $Фото задания: 12. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной а значение дроби: 1) $ \frac{a^2 + 6a + 10}{a^2 - 10a + 25} $…$ Фото задания

12. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной а значение дроби: 1) $ \frac{a^2 + 6a + 10}{a^2 - 10a + 25} $ положительное; 2) $ \frac{4a - 4 - a^2}{a^4 + 1} $ неположительное.

Accepted Answer

Решение:

Рассмотрим числитель: $ a^2 + 6a + 10 $. Дискриминант $ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 36 - 40 = -4 $. Так как $ D < 0 $ и коэффициент при $ a^2 $ равен 1 (больше нуля), то $ a^2 + 6a + 10 > 0 $ при любых значениях $ a $.
Рассмотрим знаменатель: $ a^2 - 10a + 25 = (a - 5)^2 $. $ (a - 5)^2 $ всегда больше нуля при $ a \neq 5 $ (допустимые значения).
Так как числитель положителен, а знаменатель положителен (при $ a \neq 5 $), то дробь $ \frac{a^2 + 6a + 10}{(a - 5)^2} $ положительна при всех допустимых значениях $ a $.
Рассмотрим числитель: $ 4a - 4 - a^2 = -(a^2 - 4a + 4) = -(a - 2)^2 $. $ -(a - 2)^2 $ всегда неположителен (меньше или равен нулю) при любых значениях $ a $.
Знаменатель $ a^4 + 1 $ всегда положителен, так как $ a^4 $ неотрицательно, и $ a^4 + 1 \ge 1 $.
Так как числитель неположителен, а знаменатель положителен, то дробь $ \frac{-(a - 2)^2}{a^4 + 1} $ неположительна при всех допустимых значениях $ a $.

Доказано.

12. Докажите, что при всех допустимых значениях переменной а значение дроби: 1) \( \frac{a^2 + 6a + 10}{a^2 - 10a + 25} \) положительное; 2) \( \frac{4a - 4 - a^2}{a^4 + 1} \) неположительное.

Ответ:

Решение: