12. Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежит куча из 6 камней. Игроки берут камни по очереди. За один ход можно взять 1, 2 или 3 камня. Проигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте.

Проигрышными являются позиции, в которых в куче остаётся 4 камня: после любого хода соперник сможет забрать оставшиеся камни и проиграть тому, кто заберёт последний.

В начале имеется 6 камней. Первому игроку нужно взять 2 камня, чтобы оставить 4 камня.

После этого, если второй игрок берёт 1, 2 или 3 камня, первый игрок берёт соответственно 3, 2 или 1 камень. В сумме за два хода будет убрано 4 камня, поэтому последний камень всегда забирает второй игрок и проигрывает.

Ответ: выигрывает игрок, делающий первый ход; его первый ход должен состоять в том, чтобы взять 2 камня.