12. Из точки М, отстоящей от плоскости а на расстоянии 4см, проведена наклонная МК. Найдите длину этой наклонной, если она составляет с плоскостью угол 30°.

Решение:

Пусть \(MO\) — перпендикуляр, опущенный из точки \(M\) на плоскость \(\alpha\). Тогда \(MO = 4\) см.

\(MK\) — наклонная.

Угол между наклонной \(MK\) и плоскостью \(\alpha\) равен 30°. Этот угол равен углу между наклонной \(MK\) и ее проекцией \(OK\) на плоскость \(\alpha\).

Таким образом, \(\angle MKO = 30°\).

Треугольник \(MOK\) является прямоугольным, так как \(MO\) — перпендикуляр к плоскости.

В прямоугольном треугольнике \(MOK\) имеем:

• Катет \(MO\) (расстояние от точки до плоскости) = 4 см.
• Угол \(\angle MKO = 30°\).
• \(MK\) — гипотенуза.

Нам нужно найти длину наклонной \(MK\).

Используем определение синуса угла в прямоугольном треугольнике:

\(\sin(\angle MKO) = \frac{MO}{MK}\)

\(\sin(30°) = \frac{4\text{ см}}{MK}\)

Значение \(\sin(30°) = ×\).

\(× = ×\)

\(MK = ×× = 8\) см.

Финальный ответ:

Ответ: 8 см