14. Катеты прямоугольного треугольника равны 14 дм и 48 дм; перпендикуляр к плоскости треугольника, проведённый из вершины прямого угла, равен 6 дм. Найдите расстояние от концов перпендикуляра до середины гипотенузы.

Решение:

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где \(\angle C = 90°\). Катеты \(AC = 14\) дм и \(BC = 48\) дм.

Пусть \(CK\) — перпендикуляр к плоскости треугольника, проведенный из вершины прямого угла C. Длина перпендикуляра \(CK = 6\) дм.

Обозначим середину гипотенузы AB как M.

1. Найдем длину гипотенузы AB:

По теореме Пифагора: \(AB^2 = AC^2 + BC^2\)

\(AB^2 = 14^2 + 48^2 = 196 + 2304 = 2500\)

\(AB = ×{2500} = 50\) дм.

2. Найдем расстояние от вершины C до середины гипотенузы M:

В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

\(CM = × AB = × 50 = 25\) дм.

3. Найдем расстояние от концов перпендикуляра до середины гипотенузы:

Первый конец перпендикуляра — вершина C:

Расстояние от точки C до середины гипотенузы M равно длине отрезка CM, который мы нашли: \(CM = 25\) дм.

Второй конец перпендикуляра — точка K:

Нам нужно найти расстояние от точки K до середины гипотенузы M, то есть длину отрезка KM.

Рассмотрим прямоугольный треугольник KMC. В нем:

• \(CK\) — перпендикуляр к плоскости треугольника, значит \(CK \perp CM\).
• \(CK = 6\) дм.
• \(CM = 25\) дм.

По теореме Пифагора:

\(KM^2 = CK^2 + CM^2\)

\(KM^2 = 6^2 + 25^2 = 36 + 625 = 661\)

\(KM = \sqrt{661}\) дм.

Финальный ответ:

Ответ: Расстояния от концов перпендикуляра до середины гипотенузы равны 25 дм и \(\sqrt{661}\) дм.