12 Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера. 1) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, перпендикулярную этой прямой. 2) Треугольник со сторонами 1, 2, 4 существует. 3) Сумма квадратов диагоналей прямоугольника равна сумме кубов всех его сторон. 4) Если расстояние от точки до прямой меньше 1, то и длина любой наклонной, проведенной из данной точки к прямой, меньше 1.

Краткое пояснение:

Анализ утверждений:

• Утверждение 1: Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести единственную прямую, перпендикулярную этой прямой. Это аксиома евклидовой геометрии. Верно.
• Утверждение 2: Для существования треугольника сумма длин двух любых его сторон должна быть больше длины третьей стороны (неравенство треугольника). В данном случае: \( 1 + 2 = 3 \), что меньше 4. Следовательно, такой треугольник не существует. Неверно.
• Утверждение 3: Для прямоугольника со сторонами \(a\) и \(b\) и диагональю \(d\) справедливо: \(d^2 = a^2 + b^2\). Сумма квадратов диагоналей равна \(2d^2 = 2(a^2 + b^2)\). Сумма кубов сторон равна \(2a^3 + 2b^3\). Эти выражения не равны в общем случае. Неверно.
• Утверждение 4: Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра, опущенного из точки на прямую. Любая наклонная, проведенная из той же точки к прямой, будет гипотенузой прямоугольного треугольника, где расстояние является катетом. Катет всегда меньше гипотенузы. Если расстояние (катет) меньше 1, то любая наклонная (гипотенуза) будет больше этого расстояния, но не обязательно меньше 1. Она может быть и больше 1. Например, если расстояние равно 0.5, наклонная может быть 0.6 (меньше 1), но может быть и 1.5 (больше 1). Однако, если расстояние от точки до прямой меньше 1, то длина перпендикуляра < 1. Длина наклонной всегда больше длины перпендикуляра (кроме случая, когда наклонная совпадает с перпендикуляром). Это утверждение некорректно сформулировано, но если интерпретировать, что *любая* наклонная, то она может быть и больше 1. Однако, если имеется в виду, что *все* наклонные меньше 1, то это неверно. Если имеется в виду, что *существует* наклонная, длина которой меньше 1, то это верно, так как перпендикуляр сам по себе является наклонной (точнее, кратчайшей). Но стандартная формулировка про расстояния и наклонные подразумевает, что наклонная может быть любой. Наиболее строгое толкование: если расстояние < 1, то любая наклонная > расстояние. Утверждение говорит, что любая наклонная < 1. Это не всегда так. Но если расстояние = 0.5, то наклонная может быть 0.7 (тогда утверждение верно), а может быть 1.2 (тогда утверждение неверно). Утверждение неверно в общем случае.

Ответ: 1