12. Материальная точка движется по закону: x(t) = 1/3 t³ - 2t² + 1. Найти скорость точки в момент времени t=3с.

Решение:

Скорость точки \( v(t) \) является первой производной от закона движения \( x(t) \) по времени \( t \).

Найдем производную функции \( x(t) = \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 1 \):

\[ v(t) = x'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 1 \right) \]
\[ v(t) = \frac{1}{3} \cdot 3t^2 - 2 \cdot 2t + 0 \]
\[ v(t) = t^2 - 4t \]

Теперь найдём скорость в момент времени \( t = 3 \) с:

\[ v(3) = 3^2 - 4 \cdot 3 \]
\[ v(3) = 9 - 12 \]
\[ v(3) = -3 \]

Ответ: Скорость точки в момент времени \( t = 3 \) с равна \( -3 \) м/с (предполагая, что \( x \) измеряется в метрах).