12. На отрезке АВ отмечены точки М и №, причём AM: MN = 1, 2: 1,8, MN: NB = 2,4: 3. Найдите длины всех частей, если АВ = 56 см.

Решение:

Сначала приведём отношения к общему значению для \( MN \).

Дано:

\( AM: MN = 1,2: 1,8 \)

\( MN: NB = 2,4: 3 \)

Чтобы привести к общему \( MN \), умножим первое отношение на 4, а второе на 3:

\( AM: MN = (1,2 \times 4): (1,8 \times 4) = 4,8: 7,2 \)

\( MN: NB = (2,4 \times 3): (3 \times 3) = 7,2: 9 \)

Теперь мы можем записать все части в одном отношении:

\( AM: MN: NB = 4,8: 7,2: 9 \)

Сумма частей отношения: \( 4,8 + 7,2 + 9 = 21 \).

Общая длина отрезка \( AB = 56 \) см.

Найдем значение одной части:

\[ \frac{56 \text{ см}}{21} = \frac{8}{3} \text{ см} \]

Теперь найдем длины каждой части:

\( AM = 4,8 \times \frac{8}{3} = \frac{48}{10} \times \frac{8}{3} = \frac{16}{10} \times 8 = \frac{128}{10} = 12,8 \text{ см} \)

\( MN = 7,2 \times \frac{8}{3} = \frac{72}{10} \times \frac{8}{3} = \frac{24}{10} \times 8 = \frac{192}{10} = 19,2 \text{ см} \)

\( NB = 9 \times \frac{8}{3} = 3 \times 8 = 24 \text{ см} \)

Проверка: \( 12,8 + 19,2 + 24 = 56 \) см.

Ответ: AM = 12,8 см, MN = 19,2 см, NB = 24 см.