№ 12. На рисунке AB = CD, диагонали AC и BD пересекаются в O, ∠ABD = 31°, ∠BAC = 39°. Найти ∠D и ∠C.

Принимаем стандартное для изображения равнобедренной трапеции условие: основания \(AD\) и \(BC\) параллельны, а боковые стороны \(AB\) и \(CD\) равны.

Так как \(AD \parallel BC\), угол между диагональю BD и основанием AD равен \(\angle ABD = 31^\circ\) (накрест лежащие углы).

В равнобедренной трапеции диагонали симметричны относительно оси фигуры, поэтому диагональ AC образует с основанием AD такой же угол, как BD: \(\angle CAD = 31^\circ\).

Диагональ AC делит угол A на углы \(\angle BAC = 39^\circ\) и \(\angle CAD = 31^\circ\). Значит, \(\angle A = 39^\circ + 31^\circ = 70^\circ\). В равнобедренной трапеции углы при одном основании равны, поэтому \(\angle D = 70^\circ\). Смежные углы при боковой стороне дополняют друг друга до 180°, следовательно, \(\angle C = 180^\circ - 70^\circ = 110^\circ\).

Ответ: \(\angle D = 70^\circ\), \(\angle C = 110^\circ\).