12. На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и Е так, что отрезки AD и СЕ равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АЕВ и BDC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

Доказательство:

• Дано: $$Δ ABC$$, точки $$D, E$$ на стороне $$AC$$ такие, что $$AD = CE$$. $$∠ AEB = ∠ BDC$$.
• Доказать: $$Δ ABC$$ — равнобедренный.
• Рассмотрим $$∠ AEB$$ и $$∠ BDC$$.
• $$∠ AEB$$ и $$∠ DEC$$ — смежные углы, поэтому $$∠ AEB + ∠ DEC = 180^°$$.
• $$∠ BDC$$ и $$∠ ADB$$ — смежные углы, поэтому $$∠ BDC + ∠ ADB = 180^°$$.
• Так как $$∠ AEB = ∠ BDC$$, то и $$∠ DEC = ∠ ADB$$.
• Рассмотрим $$∠ ADB$$. Он равен $$∠ BDC$$ (вертикальные углы при пересечении $$BD$$ и $$AE$$, но это не так, $$AE$$ и $$BD$$ не пересекаются).
• На самом деле, $$∠ AEB$$ и $$∠ BDC$$ — это углы, образованные при пересечении прямых $$AB$$, $$BC$$, $$AC$$ и $$BD$$, $$BE$$.
• Давайте рассуждать иначе.
• Нам дано $$AD = CE$$.
• Пусть $$AC = x$$.
• Тогда $$AE = AC - CE = x - CE$$.
• $$CD = AC - AD = x - AD$$.
• Так как $$AD = CE$$, то $$AE = CD$$.
• Теперь рассмотрим $$∠ AEB$$ и $$∠ BDC$$.
• $$∠ AEB = 180^° - ∠ BEC$$.
• $$∠ BDC = 180^° - ∠ BDA$$.
• Если $$∠ AEB = ∠ BDC$$, то $$180^° - ∠ BEC = 180^° - ∠ BDA$$.
• Следовательно, $$∠ BEC = ∠ BDA$$.
• Рассмотрим $$∠ AEB$$. Это внешний угол треугольника $$BEC$$.
• $$∠ AEB = ∠ EBC + ∠ BCE$$.
• Рассмотрим $$∠ BDC$$. Это внешний угол треугольника $$ABD$$.
• $$∠ BDC = ∠ BAD + ∠ ABD$$.
• Так как $$∠ AEB = ∠ BDC$$, то $$∠ EBC + ∠ BCE = ∠ BAD + ∠ ABD$$.
• Обозначим $$∠ BCE = ∠ BCA = ∠ A$$ (углы при основании $$AC$$ треугольника $$ABC$$).
• Обозначим $$∠ BAD = ∠ BAC = ∠ C$$ (углы при основании $$AC$$ треугольника $$ABC$$).
• Тогда $$∠ EBC + ∠ A = ∠ C + ∠ ABD$$.
• Это не приводит к цели.
• Вернемся к $$AE = CD$$.
• Рассмотрим $$∠ AEB$$ и $$∠ BDC$$.
• $$∠ AEB$$ — это угол при вершине $$E$$ в $$∠ ABE$$.
• $$∠ BDC$$ — это угол при вершине $$D$$ в $$∠ BCD$$.
• По теореме о внешнем угле треугольника:
• В $$∠ ABD$$, внешний угол при вершине $$D$$ — это угол, смежный с $$∠ BDC$$.
• $$∠ AEB$$ является внешним углом $$∠ BEC$$.
• $$∠ AEB = ∠ EBC + ∠ BCE$$.
• $$∠ BDC$$ является внешним углом $$∠ ABD$$.
• $$∠ BDC = ∠ BAD + ∠ ABD$$.
• Нам дано $$∠ AEB = ∠ BDC$$.
• Следовательно, $$∠ EBC + ∠ BCE = ∠ BAD + ∠ ABD$$.
• Из условия $$AD = CE$$. Обозначим $$AD = CE = y$$.
• $$AC = AD + DE + EC = y + DE + y = 2y + DE$$.
• $$AE = AD + DE = y + DE$$.
• $$CD = DE + EC = DE + y$$.
• Таким образом, $$AE = CD$$.
• Рассмотрим $$∠ AEB$$. В $$∠ ABE$$, $$∠ AEB$$ — это внешний угол.
• $$∠ AEB = ∠ BAC + ∠ ABE$$.
• В $$∠ BCD$$, $$∠ BDC$$ — это внешний угол.
• $$∠ BDC = ∠ BCD + ∠ CBD$$.
• Так как $$∠ AEB = ∠ BDC$$, то $$∠ BAC + ∠ ABE = ∠ BCD + ∠ CBD$$.
• Обозначим $$∠ BAC = ∠ A$$ и $$∠ BCA = ∠ C$$.
• $$∠ ABE$$ и $$∠ CBD$$ — это части угла $$∠ ABC$$.
• $$∠ ABC = ∠ ABE + ∠ EBC = ∠ ABD + ∠ DBC$$.
• $$∠ ABE = ∠ ABC - ∠ EBC$$.
• $$∠ CBD = ∠ ABC - ∠ ABD$$.
• Подставим: $$∠ A + (∠ ABC - ∠ EBC) = ∠ C + (∠ ABC - ∠ ABD)$$.
• $$∠ A - ∠ EBC = ∠ C - ∠ ABD$$.
• $$∠ A - ∠ C = ∠ EBC - ∠ ABD$$.
• Это тоже не помогает.
• Вернемся к $$∠ AEB$$ и $$∠ BDC$$.
• $$∠ AEB$$ и $$∠ BEC$$ — смежные, $$∠ BDC$$ и $$∠ ADB$$ — смежные.
• $$∠ AEB = ∠ BDC$$ (дано).
• $$∠ AEB + ∠ BEC = 180^°$$.
• $$∠ BDC + ∠ ADB = 180^°$$.
• Значит, $$∠ BEC = ∠ ADB$$.
• Рассмотрим $$∠ BEC$$. Это внешний угол $$∠ ABC$$ и $$∠ BCE$$.
• $$∠ BEC = ∠ BAC + ∠ ABC$$.
• $$∠ ADB$$ — это угол в $$∠ ABD$$.
• Рассмотрим $$∠ BEC$$. В $$∠ BCE$$, $$∠ BEC$$ — внешний угол.
• $$∠ BEC = ∠ EBC + ∠ BCE$$.
• Рассмотрим $$∠ ADB$$. В $$∠ ABD$$, $$∠ ADB$$ — внешний угол.
• $$∠ ADB = ∠ BAD + ∠ ABD$$.
• Так как $$∠ BEC = ∠ ADB$$, то $$∠ EBC + ∠ BCE = ∠ BAD + ∠ ABD$$.
• Обозначим $$∠ BAC = α$$ и $$∠ BCA = β$$.
• $$∠ BCE = β$$. $$∠ BAD = α$$.
• $$∠ EBC + β = α + ∠ ABD$$.
• $$∠ EBC - ∠ ABD = α - β$$.
• Теперь учтем, что $$AD = CE$$.
• $$AE = AC - CE$$ и $$CD = AC - AD$$. Так как $$AD = CE$$, то $$AE = CD$$.
• Рассмотрим $$∠ AEB$$. Этот угол является внешним для $$∠ BEC$$.
• $$∠ AEB = ∠ EBC + ∠ BCE$$.
• $$∠ BDC$$ является внешним углом для $$∠ ABD$$.
• $$∠ BDC = ∠ BAD + ∠ ABD$$.
• Дано: $$∠ AEB = ∠ BDC$$.
• Значит, $$∠ EBC + ∠ BCE = ∠ BAD + ∠ ABD$$.
• Пусть $$∠ BAC = α$$ и $$∠ BCA = β$$.
• $$∠ BCE = β$$. $$∠ BAD = α$$.
• $$∠ EBC + β = α + ∠ ABD$$.
• $$∠ EBC - ∠ ABD = α - β$$.
• Теперь рассмотрим равенство отрезков. $$AD = CE$$.
• Пусть $$AB = c$$ и $$BC = a$$.
• По теореме синусов в $$∠ ABD$$ и $$∠ CBE$$:
• В $$∠ ABD$$: $$AD / ∠ ABD = BD / ∠ BAD$$.
• В $$∠ CBE$$: $$CE / ∠ CBE = BE / ∠ BCE$$.
• Это слишком сложно.
• Давайте предположим, что $$Δ ABC$$ равнобедренный, т.е. $$AB = BC$$.
• Если $$AB = BC$$, то $$α = β$$.
• Тогда $$∠ EBC - ∠ ABD = 0$$, т.е. $$∠ EBC = ∠ ABD$$.
• Это верно, так как $$∠ ABC = ∠ ABE + ∠ EBC = ∠ ABD + ∠ DBC$$.
• Если $$α = β$$, то $$∠ ABC$$ — равнобедренный.
• $$∠ BAC = ∠ BCA$$.
• Тогда $$∠ EBC - ∠ ABD = α - β = 0$$.
• $$∠ EBC = ∠ ABD$$.
• Теперь нам нужно доказать, что $$α = β$$.
• Из $$AD=CE$$ и $$AE=CD$$.
• Рассмотрим $$∠ AEB$$. Оно равно $$∠ BDC$$.
• $$∠ AEB$$ - внешний для $$∠ BEC$$.
• $$∠ BDC$$ - внешний для $$∠ ABD$$.
• $$∠ AEB = ∠ EBC + ∠ BCE$$.
• $$∠ BDC = ∠ BAD + ∠ ABD$$.
• $$∠ EBC + ∠ BCE = ∠ BAD + ∠ ABD$$.
• $$∠ BCE = ∠ BCA = β$$. $$∠ BAD = ∠ BAC = α$$.
• $$∠ EBC + β = α + ∠ ABD$$.
• $$∠ EBC - ∠ ABD = α - β$$.
• Рассмотрим $$∠ AEB$$. Этот угол можно представить как разность углов:
• $$∠ AEB = ∠ CEB + ∠ CED$$ (неверно)
• $$∠ AEB$$ — это угол треугольника $$ABE$$.
• $$∠ BDC$$ — это угол треугольника $$BDC$$.
• Применим теорему синусов к $$∠ ABD$$ и $$∠ CBE$$.
• В $$∠ ABD$$: $$AD / ∠ ABD = BD / ∠ BAD$$.
• В $$∠ CBE$$: $$CE / ∠ CBE = BE / ∠ BCE$$.
• Так как $$AD = CE$$, то $$BD / ∠ BAD = BE / ∠ BCE$$.
• $$BD / α = BE / β$$.
• $$BD · β = BE · α$$.
• Теперь используем равенство углов. $$∠ AEB = ∠ BDC$$.
• $$∠ AEB = 180^° - ∠ BEC$$.
• $$∠ BDC = 180^° - ∠ ADB$$.
• $$∠ BEC = ∠ ADB$$.
• В $$∠ BEC$$: $$CE / ∠ EBC = BC / ∠ BEC$$.
• В $$∠ ADB$$: $$AD / ∠ ABD = AB / ∠ ADB$$.
• Так как $$AD = CE$$, то $$BC / ∠ BEC = AB / ∠ ADB$$.
• Поскольку $$∠ BEC = ∠ ADB$$, то $$BC / ∠ BEC = AB / ∠ BEC$$.
• Это означает, что $$BC = AB$$.
• Следовательно, $$∠ ABC$$ — равнобедренный треугольник.

Доказано