12. Найдите наименьшее значение функции y = (x-2)^2(x+11) - 75 на отрезке [-8; 3].

Решение:

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке, нам нужно найти производную функции, приравнять ее к нулю, чтобы найти критические точки, а затем вычислить значения функции в критических точках, лежащих внутри отрезка, и на концах отрезка.

1. Находим производную функции:

   Функция: $$y = (x-2)^2(x+11) - 75$$.
   Для удобства раскроем скобки: $$y = (x^2 - 4x + 4)(x+11) - 75 = x^3 + 11x^2 - 4x^2 - 44x + 4x + 44 - 75 = x^3 + 7x^2 - 40x - 31$$.

   Теперь найдем производную $$y'$$:

   \[ y' = 3x^2 + 14x - 40 \]

2. Находим критические точки:

   Приравниваем производную к нулю:

   \[ 3x^2 + 14x - 40 = 0 \]

   Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

   \[ D = b^2 - 4ac = 14^2 - 4 · 3 · (-40) = 196 + 480 = 676 \]

   Находим корни:

   \[ x_{1,2} = \frac{-b ± \sqrt{D}}{2a} = \frac{-14 \pm \sqrt{676}}{2 · 3} = \frac{-14 \pm 26}{6} \]

   Получаем две критические точки:

   • $$x_1 = \frac{-14 - 26}{6} = \frac{-40}{6} = -\frac{20}{3} \approx -6.67$$
   • $$x_2 = \frac{-14 + 26}{6} = \frac{12}{6} = 2$$
3. Проверяем, входят ли критические точки в отрезок [-8; 3]:

   Первая критическая точка $$x_1 = -\frac{20}{3}$$ входит в отрезок [-8; 3], так как $$-8 \le -\frac{20}{3} \le 3$$.
   Вторая критическая точка $$x_2 = 2$$ также входит в отрезок [-8; 3], так как $$-8 \le 2 \le 3$$.

4. Вычисляем значения функции в критических точках и на концах отрезка:

   Начальная функция: $$y = (x-2)^2(x+11) - 75$$.

   • На левом конце отрезка (x = -8):
     $$y(-8) = (-8-2)^2(-8+11) - 75 = (-10)^2(3) - 75 = 100 · 3 - 75 = 300 - 75 = 225$$.
   • В критической точке (x = -20/3):
     $$y(-\frac{20}{3}) = (-\frac{20}{3} - 2)^2(-\frac{20}{3} + 11) - 75 = (-\frac{20}{3} - \frac{6}{3})^2(-\frac{20}{3} + \frac{33}{3}) - 75$$\\$$ = (-\frac{26}{3})^2(\frac{13}{3}) - 75 = \frac{676}{9} · \frac{13}{3} - 75 = \frac{8788}{27} - \frac{2025}{27} = \frac{6763}{27} \approx 250.48$$
   • В критической точке (x = 2):
     $$y(2) = (2-2)^2(2+11) - 75 = (0)^2(13) - 75 = 0 - 75 = -75$$.
   • На правом конце отрезка (x = 3):
     $$y(3) = (3-2)^2(3+11) - 75 = (1)^2(14) - 75 = 1 · 14 - 75 = 14 - 75 = -61$$.
5. Сравниваем полученные значения:

   Значения функции: 225, $$\frac{6763}{27}$$ (приблизительно 250.48), -75, -61.

   Наименьшее из этих значений равно -75.

Ответ: -75