13. а) Решите уравнение 4 cos²x - 2 sin x sin 2x + cosx - 3 = 0.

Решение:

Для решения данного тригонометрического уравнения воспользуемся формулами двойного угла и основными тригонометрическими тождествами.

1. Преобразуем уравнение:

   Используем формулу синуса двойного угла: $$\sin 2x = 2 \sin x \cos x$$.

   Подставляем в уравнение:

   \[ 4 \cos^2 x - 2 \sin x (2 \sin x \cos x) + \cos x - 3 = 0 \]\[ 4 \cos^2 x - 4 \sin^2 x \cos x + \cos x - 3 = 0 \]
2. Применим основное тригонометрическое тождество:

   Заменим $$\sin^2 x$$ на $$1 - \cos^2 x$$.

   \[ 4 \cos^2 x - 4 (1 - \cos^2 x) \cos x + \cos x - 3 = 0 \]\[ 4 \cos^2 x - 4 \cos x + 4 \cos^3 x + \cos x - 3 = 0 \]\[ 4 \cos^3 x + 4 \cos^2 x - 3 \cos x - 3 = 0 \]
3. Сделаем замену переменной:

   Пусть $$t = \cos x$$. Тогда уравнение примет вид:

   \[ 4t^3 + 4t^2 - 3t - 3 = 0 \]
4. Решаем кубическое уравнение:

   Группируем члены:

   \[ 4t^2(t+1) - 3(t+1) = 0 \]\[ (4t^2 - 3)(t+1) = 0 \]
5. Находим возможные значения t:

   Это дает нам два случая:

   • $$t+1 = 0 → t = -1$$
   • $$4t^2 - 3 = 0 → 4t^2 = 3 → t^2 = \frac{3}{4} → t = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$$
6. Возвращаемся к замене:

   Теперь подставляем обратно $$\cos x$$ вместо $$t$$. Помним, что $$-1 \le \cos x \le 1$$. Все полученные значения $$t$$ удовлетворяют этому условию.

   • Случай 1: $$\cos x = -1$$
     Это стандартное значение. Решением будет $$x = \pi + 2\pi k$$, где $$k ∈ ℤ$$.
   • Случай 2: $$\cos x = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
     Это стандартное значение. Решением будет $$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n ∈ ℤ$$.
   • Случай 3: $$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$$
     Это стандартное значение. Решением будет $$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$$, где $$m ∈ ℤ$$.

Ответ: $$x = \pi + 2\pi k$$; $$x = \pm \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$; $$x = \pm \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$$, где $$k, n, m ∈ ℤ$$.