13. б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку [ -13π/4 ; -π/4 ].

Решение:

Мы нашли корни уравнения в пункте (а):

• $$x = \pi + 2\pi k$$
• $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$
• $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$
• $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi m$$
• $$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m$$

где $$k, n, m$$ - целые числа.

Теперь нам нужно найти значения $$k, n, m$$, при которых корни попадут в промежуток $$[-rac{13\pi}{4}; -rac{\pi}{4}]$$.

Переведем границы промежутка в десятичные дроби для удобства:

• $$-rac{13\pi}{4} \approx -3.25\pi$$
• $$-rac{\pi}{4} \approx -0.25\pi$$

Итак, искомый промежуток: $$[-3.25\pi; -0.25\pi]$$.

1. Рассмотрим первую серию корней: $$x = \pi + 2\pi k$$

   Подставляем в неравенство:

   \[ -3.25\pi \le \pi + 2\pi k \le -0.25\pi \]

   Делим все на $$\pi$$:

   \[ -3.25 \le 1 + 2k \le -0.25 \]

   Вычитаем 1:

   \[ -4.25 \le 2k \le -1.25 \]

   Делим на 2:

   \[ -2.125 \le k \le -0.625 \]

   Единственное целое значение $$k$$ в этом промежутке — $$k = -1$$.

   Подставляем $$k = -1$$ в формулу корня:

   $$x = \pi + 2\pi(-1) = \pi - 2\pi = -\pi$$.

2. Рассмотрим вторую серию корней: $$x = rac{\pi}{6} + 2\pi n$$

   Подставляем в неравенство:

   \[ -3.25\pi \le \frac{\pi}{6} + 2\pi n \le -0.25\pi \]

   Делим на $$\pi$$:

   \[ -3.25 \le \frac{1}{6} + 2n \le -0.25 \]

   Вычитаем $$\frac{1}{6}$$:

   \[ -3.25 - \frac{1}{6} \le 2n \le -0.25 - \frac{1}{6} \]

   Приводим к общему знаменателю:

   \[ -rac{3.25 · 6 + 1}{6} \le 2n \le \frac{-0.25 · 6 - 1}{6} \]\[ -rac{19.5 + 1}{6} \le 2n \le \frac{-1.5 - 1}{6} \]\[ -rac{20.5}{6} \le 2n \le -\frac{2.5}{6} \]

   Делим на 2:

   \[ -rac{20.5}{12} \le n \le -\frac{2.5}{12} \]

   Приблизительные значения:

   \[ -1.708 \le n \le -0.208 \]

   Единственное целое значение $$n$$ в этом промежутке — $$n = -1$$.

   Подставляем $$n = -1$$ в формулу корня:

   $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi(-1) = \frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{\pi - 12\pi}{6} = -rac{11\pi}{6}$$.

3. Рассмотрим третью серию корней: $$x = -rac{\pi}{6} + 2\pi n$$

   Подставляем в неравенство:

   \[ -3.25\pi \le -\frac{\pi}{6} + 2\pi n \le -0.25\pi \]

   Делим на $$\pi$$:

   \[ -3.25 \le -\frac{1}{6} + 2n \le -0.25 \]

   Прибавляем $$\frac{1}{6}$$:

   \[ -3.25 + \frac{1}{6} \le 2n \le -0.25 + \frac{1}{6} \]

   Приводим к общему знаменателю:

   \[ rac{-19.5 + 1}{6} \le 2n \le rac{-1.5 + 1}{6} \]\[ rac{-18.5}{6} \le 2n \le rac{-0.5}{6} \]

   Делим на 2:

   \[ -rac{18.5}{12} \le n \le -\frac{0.5}{12} \]

   Приблизительные значения:

   \[ -1.54 \le n \le -0.04 \]

   Единственное целое значение $$n$$ в этом промежутке — $$n = -1$$.

   Подставляем $$n = -1$$ в формулу корня:

   $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi(-1) = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = \frac{-\pi - 12\pi}{6} = -rac{13\pi}{6}$$.

4. Рассмотрим четвертую серию корней: $$x = rac{5\pi}{6} + 2\pi m$$

   Подставляем в неравенство:

   \[ -3.25\pi \le \frac{5\pi}{6} + 2\pi m \le -0.25\pi \]

   Делим на $$\pi$$:

   \[ -3.25 \le \frac{5}{6} + 2m \le -0.25 \]

   Вычитаем $$\frac{5}{6}$$:

   \[ -3.25 - \frac{5}{6} \le 2m \le -0.25 - \frac{5}{6} \]

   Приводим к общему знаменателю:

   \[ rac{-19.5 - 5}{6} \le 2m \le rac{-1.5 - 5}{6} \]\[ rac{-24.5}{6} \le 2m \le rac{-6.5}{6} \]

   Делим на 2:

   \[ -rac{24.5}{12} \le m \le -\frac{6.5}{12} \]

   Приблизительные значения:

   \[ -2.04 \le m \le -0.54 \]

   Единственное целое значение $$m$$ в этом промежутке — $$m = -1$$.

   Подставляем $$m = -1$$ в формулу корня:

   $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi(-1) = \frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{5\pi - 12\pi}{6} = -rac{7\pi}{6}$$.

5. Рассмотрим пятую серию корней: $$x = -rac{5\pi}{6} + 2\pi m$$

   Подставляем в неравенство:

   \[ -3.25\pi \le -\frac{5\pi}{6} + 2\pi m \le -0.25\pi \]

   Делим на $$\pi$$:

   \[ -3.25 \le -\frac{5}{6} + 2m \le -0.25 \]

   Прибавляем $$\frac{5}{6}$$:

   \[ -3.25 + \frac{5}{6} \le 2m \le -0.25 + \frac{5}{6} \]

   Приводим к общему знаменателю:

   \[ rac{-19.5 + 5}{6} \le 2m \le rac{-1.5 + 5}{6} \]\[ rac{-14.5}{6} \le 2m \le rac{3.5}{6} \]

   Делим на 2:

   \[ -rac{14.5}{12} \le m \le rac{3.5}{12} \]

   Приблизительные значения:

   \[ -1.208 \le m \le 0.29 \]

   Единственное целое значение $$m$$ в этом промежутке — $$m = -1$$.

   Подставляем $$m = -1$$ в формулу корня:

   $$x = -\frac{5\pi}{6} + 2\pi(-1) = -\frac{5\pi}{6} - 2\pi = \frac{-5\pi - 12\pi}{6} = -rac{17\pi}{6}$$.

Соберем все найденные корни, принадлежащие промежутку:

• $$x = -\pi$$
• $$x = -rac{11\pi}{6}$$
• $$x = -rac{13\pi}{6}$$
• $$x = -rac{7\pi}{6}$$
• $$x = -rac{17\pi}{6}$$

Проверим, все ли корни удовлетворяют условию. Заметим, что $$-rac{17\pi}{6} \approx -2.83\pi$$, что находится внутри интервала. $$x = -rac{13\pi}{6} \approx -2.17\pi$$. $$x = -rac{11\pi}{6} \approx -1.83\pi$$. $$x = -\pi \approx -1\pi$$. $$x = -rac{7\pi}{6} \approx -1.17\pi$$. Все они в интервале $$[-3.25\pi; -0.25\pi]$$.

Ответ: $$-\pi$$; $$-rac{11\pi}{6}$$; $$-rac{13\pi}{6}$$; $$-rac{7\pi}{6}$$; $$-rac{17\pi}{6}$$.