12. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции:

Решение:

Дана функция: \( y = \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 19 \)

1. Найдем первую производную функции:
2. \[ y' = \left( \frac{1}{3}x^3 - \frac{5}{2}x^2 + 6x - 19 \right)' \]
3. \[ y' = \frac{1}{3} \cdot 3x^2 - \frac{5}{2} \cdot 2x + 6 = x^2 - 5x + 6 \]
4. Найдем точки, в которых производная равна нулю, чтобы определить критические точки:
5. \[ x^2 - 5x + 6 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1 \).
7. Корни:
8. \[ x_1 = \frac{5 - 1}{2} = 2 \]
9. \[ x_2 = \frac{5 + 1}{2} = 3 \]
10. Критические точки: \( x = 2 \) и \( x = 3 \).
11. Определим знаки производной на интервалах, образованных критическими точками:
12. • При \( x < 2 \), например, при \( x=0 \): \( y' = 0^2 - 5(0) + 6 = 6 > 0 \). Функция возрастает.
    • При \( 2 < x < 3 \), например, при \( x=2.5 \): \( y' = (2.5)^2 - 5(2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0 \). Функция убывает.
    • При \( x > 3 \), например, при \( x=4 \): \( y' = 4^2 - 5(4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0 \). Функция возрастает.
13. Промежутки монотонности:
14. Функция возрастает на интервалах \( (-\infty, 2] \) и \( [3, +\infty) \).
15. Функция убывает на интервале \( [2, 3] \).
16. Точки экстремума:
17. В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума.
18. Найдем значение функции в этой точке:
19. \[ y(2) = \frac{1}{3}(2)^3 - \frac{5}{2}(2)^2 + 6(2) - 19 = \frac{8}{3} - \frac{5}{2}(4) + 12 - 19 = \frac{8}{3} - 10 + 12 - 19 = \frac{8}{3} - 17 = \frac{8 - 51}{3} = -\frac{43}{3} \]
20. В точке \( x = 3 \) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума.
21. Найдем значение функции в этой точке:
22. \[ y(3) = \frac{1}{3}(3)^3 - \frac{5}{2}(3)^2 + 6(3) - 19 = \frac{27}{3} - \frac{5}{2}(9) + 18 - 19 = 9 - \frac{45}{2} - 1 = 8 - \frac{45}{2} = \frac{16 - 45}{2} = -\frac{29}{2} \]

Ответ:

Промежутки монотонности: Функция возрастает на \( (-\infty, 2] \) и \( [3, +\infty) \), убывает на \( [2, 3] \).

Точки экстремума: Максимум в точке \( x=2 \) (значение \( y = -\frac{43}{3} \)), минимум в точке \( x=3 \) (значение \( y = -\frac{29}{2} \)).