12. Найдите все целые числа n, удовлетворяющие равенству: а) 3⁻² · 3⁴ · 3ⁿ = 3⁷; б) 2⁻⁵ · 2⁸ · 2ⁿ = (2⁶)²; в) (3⁵)⁻² · 27 : 3⁻ⁿ : 3⁻ⁿ = 81.

1. а) При умножении степеней с основанием 3 складываем показатели: \(3^{-2}\cdot3^4\cdot3^n=3^{n+2}=3^7\). Значит, \(n+2=7\), откуда \(n=5\).
2. б) \(2^{-5}\cdot2^8\cdot2^n=2^{n+3}\), а \((2^6)^2=2^{12}\). Поэтому \(n+3=12\), откуда \(n=9\).
3. в) Представим числа 27 и 81 как степени тройки: \((3^5)^{-2}\cdot27:3^{-n}:3^{-n}=3^{-10}\cdot3^3:3^{-n}:3^{-n}=3^{2n-7}\). Так как \(81=3^4\), получаем \(2n-7=4\), откуда \(n=\frac{11}{2}\). Это не целое число, следовательно, целых решений нет.

Ответ: а) \(n=5\); б) \(n=9\); в) целых решений нет.