12. Окружности с центрами в точках К и М пересекаются в точках А и В, причём точки Ки М лежат по одну сторону от прямой АВ. Докажите, что прямые АВ и КМ перпендикулярны.

Краткое пояснение:

Для доказательства воспользуемся свойствами хорды и радиуса окружности. Прямая, проходящая через центр окружности и середину хорды, перпендикулярна к хорде. Также, если две окружности пересекаются, их линия центров перпендикулярна общей хорде и делит ее пополам.

Доказательство:

1. Шаг 1: Рассмотрим первую окружность с центром в точке K.
   Точки A и B лежат на этой окружности. Следовательно, отрезок AB является хордой окружности.
2. Шаг 2: Рассмотрим вторую окружность с центром в точке M.
   Точки A и B также лежат на этой окружности. Следовательно, отрезок AB является хордой и для этой окружности.
3. Шаг 3: Рассмотрим отрезок KM, соединяющий центры обеих окружностей.
   Так как A и B лежат на обеих окружностях, то отрезок KM является линией центров.
4. Шаг 4: По свойству пересекающихся окружностей, линия центров (KM) перпендикулярна их общей хорде (AB) и делит ее пополам.
   Это означает, что прямая KM перпендикулярна прямой AB.
5. Шаг 5: Также, из того, что K и M – центры окружностей, а A и B – точки пересечения, следует, что KA = KB (радиусы первой окружности) и MA = MB (радиусы второй окружности).
   Это означает, что точки K и M лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AB.
6. Шаг 6: Прямая, проходящая через две точки (K и M), является серединным перпендикуляром к отрезку AB.
   По определению, серединный перпендикуляр к отрезку AB является прямой, которая проходит через середину AB и перпендикулярна AB.

Заключение: Таким образом, прямые AB и KM перпендикулярны.