12. Площадь четырёхугольника можно вычислить по формуле S = \(\frac{d₁d₂\sin\alpha}{2}\), где \(d₁\) и \(d₂\) – длины диагоналей четырёхугольника, а \(\alpha\) – угол между диагоналями. Пользуясь этой формулой, найдите длину диагонали \(d₂\), если \(d₁ = 9\), \(\sin\alpha = \frac{5}{8}\), а \(S = 56,25\).

Задание 12. Нахождение длины диагонали четырёхугольника

У нас есть формула площади четырёхугольника и большинство его компонентов. Нам нужно найти длину диагонали \(d₂\).

Дано:

• Площадь: \( S = 56,25 \)
• Длина одной диагонали: \( d₁ = 9 \)
• Синус угла между диагоналями: \( \sin\alpha = \frac{5}{8} \)

Формула:

\[ S = \frac{d₁d₂\sin\alpha}{2} \]

Решение:

1. Подставим известные значения в формулу:
\[ 56,25 = \frac{9 \cdot d₂ \cdot \frac{5}{8}}{2} \]
2. Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:
\[ 56,25 \cdot 2 = 9 \cdot d₂ \cdot \frac{5}{8} \]\[ 112,5 = \frac{45 \cdot d₂}{8} \]
3. Умножим обе части уравнения на 8:
\[ 112,5 \cdot 8 = 45 \cdot d₂ \]\[ 900 = 45 \cdot d₂ \]
4. Теперь найдём \(d₂\), разделив обе части на 45:
\[ d₂ = \frac{900}{45} \]\[ d₂ = 20 \]

Ответ: 20.