12. Площадь треугольника вычисляется по формуле \( S = \frac{1}{2}bc \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \sin \alpha \), где \( b \) и \( c \) — две стороны треугольника, а \( \alpha \) — угол между ними. Пользуясь этой формулой, найдите значение \( \sin \alpha \), если \( b = 5 \), \( c = 6 \) и \( S = 6 \).

Используем данную формулу площади треугольника:

\( S = \frac{1}{2}bc \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \sin \alpha \)

Подставим известные значения \( b = 5 \), \( c = 6 \) и \( S = 6 \):

\( 6 = \frac{1}{2} \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \times 5 \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \times 6 \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \times \sin \alpha \)

Упростим правую часть:

\( 6 = \frac{1}{2} \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \times 30 \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \times \sin \alpha \)

\( 6 = 15 \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \thinspace \times \sin \alpha \)

Теперь найдём \( \sin \alpha \), разделив обе части уравнения на 15:

\( \sin \alpha = \frac{6}{15} \)

Сократим дробь:

\( \sin \alpha = \frac{2}{5} \)

Ответ: \( \frac{2}{5} \)