12. \(\sqrt{7x+1}-\sqrt{6-x}=\sqrt{15+2x}\)

ОДЗ: \(7x+1\ge0\), \(6-x\ge0\), \(15+2x\ge0\), поэтому \(-\frac17\le x\le6\).

Перенесём второй корень вправо:

\(\sqrt{7x+1}=\sqrt{6-x}+\sqrt{15+2x}\).

Возведём обе части в квадрат:

\(7x+1=21+x+2\sqrt{(6-x)(15+2x)}\), откуда \(3x-10=\sqrt{(6-x)(15+2x)}\). Следовательно, дополнительно необходимо \(x\ge\frac{10}{3}\).

Снова возведём в квадрат с учётом этого условия:

\((3x-10)^2=(6-x)(15+2x)\).

После раскрытия скобок получаем \(11x^2-57x+10=0\), откуда \(x=5\) или \(x=\frac{2}{11}\). Условию \(x\ge\frac{10}{3}\) удовлетворяет только \(x=5\).

Проверка: \(\sqrt{36}-\sqrt{1}=\sqrt{25}\), то есть \(5=5\).

Ответ: \(x=5\).