12 Тип 10 Найдите значение выражения x^2+10x+25 / x^2-9 + 4x+20 / 2x+6 при х = -7.

Решение:

Сначала упростим выражение. Обратим внимание, что числитель первой дроби является полным квадратом, а знаменатели можно разложить:

• \[ x^2+10x+25 = (x+5)^2 \]
• \[ x^2-9 = (x-3)(x+3) \]
• \[ 4x+20 = 4(x+5) \]
• \[ 2x+6 = 2(x+3) \]

Подставим эти разложения в исходное выражение:

• \[ \frac{(x+5)^2}{(x-3)(x+3)} + \frac{4(x+5)}{2(x+3)} \]
• \[ \frac{(x+5)^2}{(x-3)(x+3)} + \frac{2(x+5)}{(x+3)} \]

Приведем ко второй дроби общий знаменатель (x-3)(x+3):

• \[ \frac{(x+5)^2}{(x-3)(x+3)} + \frac{2(x+5)(x-3)}{(x+3)(x-3)} \]
• \[ \frac{(x+5)^2 + 2(x+5)(x-3)}{(x-3)(x+3)} \]

Вынесем общий множитель (x+5) в числителе:

• \[ \frac{(x+5) [ (x+5) + 2(x-3) ]}{(x-3)(x+3)} \]
• \[ \frac{(x+5) [ x+5 + 2x-6 ]}{(x-3)(x+3)} \]
• \[ \frac{(x+5)(3x-1)}{(x-3)(x+3)} \]

Теперь подставим x = -7 в упрощенное выражение:

• \[ \frac{(-7+5)(3(-7)-1)}{(-7-3)(-7+3)} \]
• \[ \frac{(-2)(-21-1)}{(-10)(-4)} \]
• \[ \frac{(-2)(-22)}{40} \]
• \[ \frac{44}{40} \]
• \[ \frac{11}{10} \]

Ответ: 1.1