12. В кружок робототехники берут только тех, кто знает математику, физику или программирование. Известно, что 8 членов кружка знают физику, 7 — математику, 11 — программирование. При этом известно, что не менее двух знают одновременно физику и математику, не менее трёх — математику и программирование, и не менее четырёх — физику и программирование. Какое наибольшее количество участников кружка может быть при этих условиях?

Обозначим множества знающих физику, математику и программирование через Ф, М и П. Всего учтено \(8+7+11=26\) членств в этих множествах.

Чтобы число разных участников было наибольшим, пересечения пар множеств должны быть минимальными: \(|Ф\cap М|=2\), \(|М\cap П|=3\), \(|Ф\cap П|=4\). Если \(t\) человек знают все три предмета, то по формуле включения-исключения число участников равно \(26-2-3-4+t=17+t\).

Так как не менее двух человек входят в пересечение Ф и М, имеем \(t\leq2\). Следовательно, число участников не может быть больше \(19\).

Эта граница достижима: пусть 2 человека знают все три предмета; ещё 2 знают только физику и программирование; ещё 1 — только математику и программирование. Тогда только физику знают \(8-2-2=4\) человека, только математику — \(7-2-1=4\), только программирование — \(11-2-2-1=6\). Такое распределение удовлетворяет условиям и содержит \(2+2+1+4+4+6=19\) участников.

Ответ: 19 участников.