12. В окружности с центром в точке O проведены диаметр AB и CD. Докажите, что хорды AC и BD равны.

Так как \(AB\) и \(CD\) — диаметры окружности, точка \(O\) является серединой каждого из них. Центральные углы \(\angle AOC\) и \(\angle BOD\) равны как вертикальные углы.

Кроме того, \(OA=OB\) и \(OC=OD\), поскольку это радиусы одной окружности. Следовательно, треугольники \(AOC\) и \(BOD\) равны по двум сторонам и углу между ними.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \(AC=BD\).

Ответ: \(AC=BD\).