8. В равнобедренном треугольнике один из внешних углов равен 60°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см. Найдите основание треугольника.

Внешний угол равен \(60^\circ\), значит соответствующий внутренний угол равен \(120^\circ\). Это угол при вершине равнобедренного треугольника, поэтому углы при основании равны \(30^\circ\).

Пусть боковая сторона равна \(a\), а основание — \(b\). Высота, проведённая к боковой стороне, равна 6 см. Площадь можно выразить двумя способами:

\(S=\frac12 a\cdot 6\).

Также \(S=\frac12 a^2\sin120^\circ=\frac12a^2\cdot\frac{\sqrt3}{2}\).

Следовательно, \(3a=\frac{a^2\sqrt3}{4}\), откуда \(a=4\sqrt3\).

Основание является стороной, лежащей напротив угла \(120^\circ\):

\(b^2=a^2+a^2-2a^2\cos120^\circ=3a^2\).

Значит, \(b=a\sqrt3=4\sqrt3\cdot\sqrt3=12\) см.

Ответ: 12 см.