12. В параллелограмме ABCD диагонали являются биссектрисами его углов, AB = 45, AC = 72. Найдите BD.

Если диагонали параллелограмма являются биссектрисами его углов, то параллелограмм — ромб. Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам.

Половина диагонали \(AC\) равна \(72:2=36\). Пусть половина \(BD\) равна \(x\). Из прямоугольного треугольника с гипотенузой \(AB=45\): \(x^2+36^2=45^2\), откуда \(x^2=729\), \(x=27\).

Тогда \(BD=2\cdot27=54\).

Ответ: 54.