12. В правильной четырёхугольной пирамиде сторона основания равна 10, а боковое ребро равно 5√26. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая грань является равнобедренным треугольником с боковыми сторонами \(5\sqrt{26}\) и основанием 10. Высота боковой грани делит основание пополам.

По теореме Пифагора найдём апофему пирамиды:

\(l=\sqrt{(5\sqrt{26})^2-5^2}=\sqrt{650-25}=\sqrt{625}=25\).

Площадь одной боковой грани:

\(S_1=\dfrac12\cdot10\cdot25=125\).

Боковая поверхность состоит из четырёх равных граней:

\(S_{\text{бок}}=4\cdot125=500\).

Ответ: 500.