12. В правильной пятиугольной пирамиде сторона основания равна 10, а боковое ребро равно \(\sqrt{146}\). Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность состоит из 5 одинаковых равнобедренных треугольников.

Высота боковой грани делит её основание пополам. Поэтому высота грани равна:

\[l=\sqrt{(\sqrt{146})^2-5^2}=\sqrt{146-25}=\sqrt{121}=11\]

Площадь одной боковой грани:

\[S_1=\frac12\cdot10\cdot11=55\]

Площадь боковой поверхности:

\[S_{\text{бок}}=5\cdot55=275\]

Ответ: 275.