12. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 6, а боковое ребро равно 3√17. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Боковая поверхность состоит из трёх одинаковых равнобедренных треугольников с боковыми сторонами \(3\sqrt{17}\) и основанием 6.

Высота боковой грани делит основание пополам, поэтому её длина равна:

\(h=\sqrt{(3\sqrt{17})^2-3^2}=\sqrt{153-9}=\sqrt{144}=12\).

Площадь одной боковой грани:

\(S_1=\frac12\cdot6\cdot12=36\).

Площадь боковой поверхности:

\(S_{\text{бок}}=3\cdot36=108\).

Ответ: 108.