12) В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Дано: ∠ABO = 60°, AM = MD, OM ⟂ CD, OP ⟂ CD. Найдите углы α и β.

В прямоугольнике диагонали равны и делятся пополам, поэтому O — центр прямоугольника. Поскольку M — середина AD, отрезок OM соединяет центр с серединой стороны AD; он перпендикулярен AD и параллельным ей стороне BC.

Дано ∠ABO = 60°. Так как AB ⟂ BC, угол между диагональю BD и BC равен 90° − 60° = 30°. Диагональ AC образует с BC такой же острый угол, поскольку диагонали прямоугольника симметричны относительно перпендикуляра к BC через O. Следовательно, α = 30°.

OP ⟂ CD, а CD ⟂ BC, значит OP ∥ BC. Поэтому угол β между OP и диагональю OC равен углу между BC и AC: β = 30°.

Ответ: α = 30°, β = 30°.