12. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC = 25, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 10√6. Найдите sin ∠ABC.

Обозначим \(BC=a\), а гипотенузу \(AB=c\). Площадь прямоугольного треугольника можно выразить двумя способами:

\[\frac12\cdot AC\cdot BC=\frac12\cdot AB\cdot CH.\]

Отсюда:

\[25a=c\cdot10\sqrt6.\]

Также по теореме Пифагора:

\[c^2=a^2+25^2=a^2+625.\]

Используем формулу для высоты к гипотенузе:

\[CH^2=\frac{AC^2\cdot BC^2}{AB^2}.\]

Подставим данные:

\[600=\frac{625a^2}{a^2+625}.\]

\[600a^2+375000=625a^2,\qquad a^2=1500.\]

Тогда \(AB^2=1500+625=2125=25\cdot85\), поэтому \(AB=5\sqrt{85}\).

Для угла B:

\[\sin\angle ABC=\frac{AC}{AB}=\frac{25}{5\sqrt{85}}=\frac{5}{\sqrt{85}}=\frac{\sqrt{85}}{17}.\]

Ответ: \(\frac{\sqrt{85}}{17}\).