12. В прямоугольном треугольнике ABC угол C равен 90°, cos B = 12/13. Гипотенуза АВ = 26. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

Дан прямоугольный треугольник ABC, где \( \angle C = 90^{\circ} \).

Известно, что \( \cos B = \frac{12}{13} \) и гипотенуза \( AB = 26 \).

По определению косинуса в прямоугольном треугольнике:

\( \cos B = \frac{BC}{AB} \), где \( BC \) — прилежащий катет к углу \( B \).

Подставим известные значения:

\( \frac{12}{13} = \frac{BC}{26} \)

Найдем длину катета \( BC \):

\( BC = \frac{12}{13} \times 26 = 12 \times 2 = 24 \text{ см} \).

Теперь найдём длину второго катета, \( AC \), используя теорему Пифагора: \( AB^2 = AC^2 + BC^2 \).

\( 26^2 = AC^2 + 24^2 \)

\( 676 = AC^2 + 576 \)

\( AC^2 = 676 - 576 = 100 \)

\( AC = \sqrt{100} = 10 \text{ см} \).

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

\( S = \frac{1}{2} \times AC \times BC \)

\( S = \frac{1}{2} \times 10 \text{ см} \times 24 \text{ см} = 5 \text{ см} \times 24 \text{ см} = 120 \text{ см}^2 \).

Ответ: 120 см²