12 В ромбе ABCD диагональ АС = 30, сторона АВ = 3√34. Найдите тангенс угла ВАС.

Краткая запись:

• Ромб ABCD
• Диагональ AC = 30
• Сторона AB = 3√34
• Найти: tg(∠BAC) — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Находим половину диагонали AC. Диагонали ромба пересекаются в точке O и делятся пополам. Следовательно, AO = OC = AC / 2.
   \( AO = 30 : 2 = 15 \).
2. Шаг 2: Рассмотрим прямоугольный треугольник ABO (так как диагонали ромба пересекаются под прямым углом, ∠AOB = 90°). В этом треугольнике AB — гипотенуза, AO и BO — катеты. Используем теорему Пифагора, чтобы найти длину катета BO: \( AB^{2} = AO^{2} + BO^{2} \).
   \( (3√34)^{2} = 15^{2} + BO^{2} \)
   \( 9 \cdot 34 = 225 + BO^{2} \)
   \( 306 = 225 + BO^{2} \)
   \( BO^{2} = 306 - 225 \)
   \( BO^{2} = 81 \)
   \( BO = \sqrt{81} = 9 \).
3. Шаг 3: Находим тангенс угла ∠BAC в прямоугольном треугольнике ABO. Тангенс угла равен отношению противолежащего катета к прилежащему катету: \( tg(∠BAC) = \frac{BO}{AO} \).
   \( tg(∠BAC) = \frac{9}{15} \).
4. Шаг 4: Сокращаем дробь.
   \( tg(∠BAC) = \frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5} \).

Ответ: 3/5