12. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины B, в отношении 17 : 15, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 24.

Обозначим через D основание высоты из B на AC, а через E — точку пересечения высоты с биссектрисой угла A. Тогда BE : ED = 17 : 15.

По теореме о биссектрисе для треугольника ABD: AD : DB = AB : (продолжение биссектрисы до высоты). Удобнее использовать координаты: пусть AD = x, BD = h, AB = c. Так как AE делит BD в отношении 17 : 15 от B, высота точки E над AC равна 15h/32. Направление биссектрисы из A даёт отношение этой высоты к горизонтальной координате x как h/(c+x), поэтому x/(c+x) = 15/32. Отсюда 17x = 15c, то есть AD : AB = 15 : 17.

В прямоугольном треугольнике ABD при таком отношении катеты и гипотенуза относятся как 8 : 15 : 17. Поэтому можно положить BD = 8k, AD = 15k, AB = 17k.

Площадь ABC равна AC · BD / 2. Для радиуса описанной окружности используем формулу R = AB · BC · AC / (4S):

R = (17k · 24 · AC) / (4 · AC · 8k / 2) = 51/2.

Ответ: 25,5.