13. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 8 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Пусть M — середина AC, а высота равнобедренного треугольника равна h. Разместим основание на горизонтальной прямой: A = (−6; 0), C = (6; 0), M = (0; 0). Центр данной окружности находится на перпендикуляре к AC через M и на расстоянии 8 от AC. Так как он вне треугольника, его координаты O = (0; −8).

Боковая сторона AB лежит на прямой через A и B = (0; h). Уравнение этой прямой: hx − 6y + 6h = 0. Расстояние от O до прямой равно радиусу окружности, 8:

|48 + 6h| / √(h² + 36) = 8.

При h > 0 возводим в квадрат и решаем: (48 + 6h)² = 64(h² + 36), откуда h = 144/7.

Боковая сторона AB = √(6² + h²) = 150/7. Площадь треугольника равна 12 · (144/7) / 2 = 864/7, а полупериметр — (12 + 2 · 150/7) / 2 = 192/7.

Радиус вписанной окружности r = S/p = (864/7) / (192/7) = 9/2.

Ответ: 4,5.