14. В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины B, в отношении 13 : 12, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC = 10.

Пусть D — основание высоты из B на AC, E — пересечение высоты с биссектрисой угла A. Тогда BE : ED = 13 : 12. Обозначим AD = x, BD = h, AB = c. Точка E находится на высоте 12h/25 над AC. Для биссектрисы из A это даёт x/(c + x) = 12/25, откуда 13x = 12c и AD : AB = 12 : 13.

В прямоугольном треугольнике ABD катеты и гипотенуза относятся как 5 : 12 : 13. Значит, можно записать BD = 5k, AD = 12k, AB = 13k.

Используем формулу R = AB · BC · AC / (4S), где S = AC · BD / 2. Тогда R = AB · BC / (2BD) = (13k · 10) / (2 · 5k) = 13.

Ответ: 13.