12. В треугольнике ABC известно, что AC = 10√2 см, ∠B = 45°, ∠C = 30°. Найдите сторону AB и радиус описанной около него окружности.

По теореме синусов стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Сторона AC лежит напротив угла B, а AB — напротив угла C:

\(\frac{AB}{\sin30^\circ}=\frac{AC}{\sin45^\circ}\), поэтому \(AB=10\sqrt{2}\cdot\frac{1/2}{\sqrt{2}/2}=10\) см.

Радиус описанной окружности найдём по формуле \(AC=2R\sin B\):

\(R=\frac{10\sqrt{2}}{2\sin45^\circ}=10\) см.

Ответ: \(AB=10\) см, \(R=10\) см.