12. Вычислите: \( \frac{(6^2)^3 \cdot 6^4}{6^7} \)

Решение:

Воспользуемся свойствами степеней:

1. При возведении степени в степень, показатели перемножаются: \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \).
2. При умножении степеней с одинаковым основанием, показатели складываются: \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \).
3. При делении степеней с одинаковым основанием, показатели вычитаются: \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \).

Применим эти свойства к нашему выражению:

\[ \frac{(6^2)^3 \cdot 6^4}{6^7} = \frac{6^{2 \cdot 3} \cdot 6^4}{6^7} = \frac{6^6 \cdot 6^4}{6^7} \]

Теперь сложим показатели в числителе:

\[ \frac{6^{6+4}}{6^7} = \frac{6^{10}}{6^7} \]

Теперь выполним деление:

\[ 6^{10-7} = 6^3 \]

Вычислим значение \( 6^3 \):

\[ 6^3 = 6 \cdot 6 \cdot 6 = 36 \cdot 6 = 216 \]

Ответ: 216