120. Докажите, что любой отрезок, соединяющий вершину острого угла прямоугольного треугольника с точкой противолежащего катета, меньше гипотенузы, но больше другого катета. Дано: ΔABC; ∠C = 90°; E ∈ CB. Доказать: AC < AE < AB. Доказательство. 1) ΔACE __ и AE __ , поэтому AC __ AE. 2) ∠BEA __ угол ΔACE и поэтому ∠BEA 90°. По доказанному в задании 119 утверждению в ΔBEA имеем: AE __ AB, что и требовалось доказать.

Доказательство:

1. 1) В прямоугольном треугольнике ΔACE ∠C = 90°, следовательно, AE является гипотенузой. Так как гипотенуза больше катета, то AC < AE.
2. 2) ∠CEA — внешний угол ΔABE. Следовательно, ∠CEA > ∠B. Так как ∠C = 90°, то ∠CEA + ∠CAE = 90°. В ΔABE ∠AEB + ∠B + ∠BAE = 180°. Так как ∠C = 90°, то ∠AEB < 90°. По доказанному в задании 119, в прямоугольном треугольнике гипотенуза больше катета. В ΔABE ∠AEB < 90°, значит, AE < AB.

Таким образом, AC < AE < AB, что и требовалось доказать.