1202. В шестизначном числе первая цифра совпадает с четвёртой, вторая — с пятой и третья — с шестой. Докажите, что это число кратно 7, 11, 13.

Решение:

Пусть шестизначное число имеет вид \( abcdef \). По условию \( a = d \), \( b = e \), \( c = f \). Это число можно записать как:

\( N = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f \)

Подставляя равные цифры, получаем:

\( N = 100000a + 10000b + 1000c + 100a + 10b + c \)

Группируем одинаковые цифры:

\( N = (100000a + 100a) + (10000b + 10b) + (1000c + c) \)

\( N = 100100a + 10010b + 1001c \)

Вынесем общий множитель 1001:

\( N = 1001 \cdot (100a + 10b + c) \)

Известно, что \( 1001 = 7 \cdot 11 \cdot 13 \). Следовательно,

\( N = (7 \cdot 11 \cdot 13) \cdot (100a + 10b + c) \)

Это означает, что число \( N \) делится на 7, 11 и 13.

Доказано.