122. Постройте график функции y = −x² + 2x + 8 и найдите, используя график: а) значение функции при x = 2,5; −0,5; −3; б) значения аргумента, при которых y = 6; 0; −2; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, область значений функции.

Преобразуем функцию:

\(y=-x^2+2x+8=-(x-1)^2+9\).

Вершина параболы \(V(1;9)\), ось симметрии \(x=1\), ветви направлены вниз.

1. Значения функции:

   \(f(2.5)=-2.5^2+2\cdot2.5+8=8.75\);

   \(f(-0.5)=-(-0.5)^2+2\cdot(-0.5)+8=6.75\);

   \(f(-3)=-9-6+8=-7\).

2. Значения аргумента:

   При \(y=6\): \(-x^2+2x+8=6\), поэтому \(x=1\pm\sqrt3\).

   При \(y=0\): \(-x^2+2x+8=0\), поэтому \(x=-2\) или \(x=4\).

   При \(y=-2\): \(-x^2+2x+8=-2\), поэтому \(x=1\pm\sqrt{11}\).

3. Нули функции: \(x=-2\) и \(x=4\).

   Функция положительна на \((-2;4)\), отрицательна на \((-; -2)\cup(4; +\infty)\).

4. Функция возрастает на \((-\infty;1)\) и убывает на \((1;+\infty)\). Область значений: \((-;9]\).

Для построения графика достаточно отметить вершину \((1;9)\), нули \((-2;0)\), \((4;0)\) и симметричные точки, например \((-1;4)\), \((3;4)\).

Ответ: \(f(2.5)=8.75\), \(f(-0.5)=6.75\), \(f(-3)=-7\); при \(y=6\): \(x=1\pm\sqrt3\), при \(y=0\): \(x=-2,4\), при \(y=-2\): \(x=1\pm\sqrt{11}\); нули \(-2,4\); \(y>0\) на \((-2;4)\), \(y<0\) на \((-;-2)\cup(4;+)\); возрастает на \((-;1)\), убывает на \((1;+)\), область значений \((-;9]\).