123. Постройте график функции y = 2x² + 8x + 2 и найдите, используя график: а) значение y при x = −2,3; −0,5; 1,2; б) значения x, при которых y = −4; −1; 1; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Question

Вопрос:

Фото задания

123. Постройте график функции y = 2x² + 8x + 2 и найдите, используя график: а) значение y при x = −2,3; −0,5; 1,2; б) значения x, при которых y = −4; −1; 1; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, наименьшее значение функции.

Accepted Answer

Преобразуем функцию:

\(y=2x^2+8x+2=2(x+2)^2-6\).

Вершина параболы \(V(-2;-6)\), ось симметрии \(x=-2\), ветви направлены вверх.

Значения функции:
\(f(-2.3)=2\cdot(-2.3)^2+8\cdot(-2.3)+2=-5.82\);
\(f(-0.5)=2\cdot(-0.5)^2+8\cdot(-0.5)+2=-1.5\);
\(f(1.2)=2\cdot1.2^2+8\cdot1.2+2=14.48\).
Значения аргумента:
При \(y=-4\): \(2x^2+8x+2=-4\), откуда \(x=-3\) или \(x=-1\).
При \(y=-1\): \(2x^2+8x+2=-1\), откуда \(x=-2\pm\frac{\sqrt{10}}2\).
При \(y=1\): \(2x^2+8x+2=1\), откуда \(x=-2\pm\frac{\sqrt{14}}2\).
Нули функции:
\(2x^2+8x+2=0\), поэтому \(x=-2\pm\sqrt3\).
Функция отрицательна на \((-2-\sqrt3;-2+\sqrt3)\), положительна на \((-;-2-\sqrt3)\cup(-2+\sqrt3;+)\).
Функция убывает на \((-\infty;-2)\) и возрастает на \((-2;+\infty)\). Наименьшее значение функции равно \(-6\).

Для построения графика можно отметить вершину \((-2;-6)\), нули \((-2-\sqrt3;0)\), \((-2+\sqrt3;0)\), а также точки \((-3;-4)\) и \((-1;-4)\).

Ответ: \(f(-2.3)=-5.82\), \(f(-0.5)=-1.5\), \(f(1.2)=14.48\); при \(y=-4\): \(x=-3,-1\); при \(y=-1\): \(x=-2\pm\frac{\sqrt{10}}2\); при \(y=1\): \(x=-2\pm\frac{\sqrt{14}}2\); нули \(x=-2\pm\sqrt3\); убывает на \((-;-2)\), возрастает на \((-2;+)\), наименьшее значение \(-6\).