122. Постройте график функции y = −x² + 2x + 8 и, пользуясь графиком, найдите: а) значение функции при x = 2,5; −0,5; −3; б) значения аргумента, при которых y = 6; 0; −2; в) нули функции и промежутки знакопостоянства; г) промежутки возрастания и убывания функции, область значений функции.

Запишем функцию в вершиной форме: \(y=-(x-1)^2+9\). Поэтому вершина — \((1;9)\), ось симметрии — \(x=1\), парабола направлена ветвями вниз. Нули находим из \(-(x-1)^2+9=0\): \(x=-2\) и \(x=4\).

а) Подставим заданные значения аргумента:

• \(f(2.5)=-(2.5)^2+2\cdot2.5+8=6.75\);
• \(f(-0.5)=-(-0.5)^2+2\cdot(-0.5)+8=6.75\);
• \(f(-3)=-(-3)^2+2\cdot(-3)+8=-7\).

б) Решим уравнения для каждого заданного значения функции:

• При \(y=6\): \(-(x-1)^2+9=6\), откуда \(x=1\pm\sqrt3\).
• При \(y=0\): \(x=-2\) или \(x=4\).
• При \(y=-2\): \((x-1)^2=11\), откуда \(x=1\pm\sqrt{11}\).

в) Нули функции: \(-2\) и \(4\). Парабола направлена вниз, поэтому функция положительна между нулями и отрицательна вне их.

г) До вершины функция возрастает, после вершины убывает. Наибольшее значение равно 9.

Ответ: а) 6,75; 6,75; −7. б) При y = 6: x = 1 ± √3; при y = 0: x = −2, 4; при y = −2: x = 1 ± √11. в) Нули: −2 и 4; y > 0 при −2 < x < 4, y < 0 при x < −2 или x > 4. г) Возрастает на (−∞; 1], убывает на [1; +∞); область значений (−∞; 9].