123. Решите треугольник по двум сторонам и углу, противолежащему одной из данных сторон: 1) a = 7 см, b = 11 см, β = 46°; 2) b = 15 см, c = 17 см, β = 32°; 3) a = 7 см, c = 3 см, γ = 27°.

Используем теорему синусов: \(\dfrac{a}{\sin\alpha}=\dfrac{b}{\sin\beta}=\dfrac{c}{\sin\gamma}\), а также \(\alpha+\beta+\gamma=180^\circ\).

1. \(\sin\alpha=\dfrac{a\sin\beta}{b}=\dfrac{7\sin46^\circ}{11}\approx0.458\), поэтому \(\alpha\approx27.3^\circ\).

   \(\gamma=180^\circ-46^\circ-27.3^\circ\approx106.7^\circ\).

   \(c=\dfrac{b\sin\gamma}{\sin\beta}\approx\dfrac{11\sin106.7^\circ}{\sin46^\circ}\approx14.7\text{ см}\).

2. \(\sin\gamma=\dfrac{c\sin\beta}{b}=\dfrac{17\sin32^\circ}{15}\approx0.601\), поэтому \(\gamma\approx36.9^\circ\).

   \(\alpha=180^\circ-32^\circ-36.9^\circ\approx111.1^\circ\).

   \(a=\dfrac{b\sin\alpha}{\sin\beta}\approx\dfrac{15\sin111.1^\circ}{\sin32^\circ}\approx26.4\text{ см}\).

3. Проверим возможность существования треугольника:

   \(\sin\alpha=\dfrac{a\sin\gamma}{c}=\dfrac{7\sin27^\circ}{3}\approx1.06>1\).

   Так как синус угла не может быть больше 1, треугольник с такими данными не существует.

Ответ: 1) \(a=7\text{ см}, b=11\text{ см}, c\approx14.7\text{ см}, \alpha\approx27.3^\circ, \beta=46^\circ, \gamma\approx106.7^\circ\); 2) \(a\approx26.4\text{ см}, b=15\text{ см}, c=17\text{ см}, \alpha\approx111.1^\circ, \beta=32^\circ, \gamma\approx36.9^\circ\); 3) треугольник не существует.