124. Упростите выражение: а) $\frac{x-1}{3x}:\left(\frac{1}{3x-6y}\cdot\left(2y-x-\frac{2y-x}{x}\right)\right)$; б) $\left(3a-2b+\frac{2b-3a}{2a}\right):\left(a-\frac12\right)\cdot\frac{a^2}{9a^2-4b^2}$; в) $\frac{4y^2-1}{y^3-y^2-y+1}:\left(\frac{y}{y^2-2y+1}+\frac{y}{y^2-1}-\frac{2}{y+1}\right)$; г) $\left(\frac1{x^2}-\frac1{(x-1)^2}+\frac{x+1}{x(x-1)^2}\right)\cdot\frac{x-1}{x^3+1}$.

Question

Вопрос: $Фото задания: 124. Упростите выражение: а) $\frac{x-1}{3x}:\left(\frac{1}{3x-6y}\cdot\left(2y-x-\frac{2y-x}{x}\right)\right)$; б)…$ Фото задания

124. Упростите выражение: а) $\frac{x-1}{3x}:\left(\frac{1}{3x-6y}\cdot\left(2y-x-\frac{2y-x}{x}\right)\right)$; б) $\left(3a-2b+\frac{2b-3a}{2a}\right):\left(a-\frac12\right)\cdot\frac{a^2}{9a^2-4b^2}$; в) $\frac{4y^2-1}{y^3-y^2-y+1}:\left(\frac{y}{y^2-2y+1}+\frac{y}{y^2-1}-\frac{2}{y+1}\right)$; г) $\left(\frac1{x^2}-\frac1{(x-1)^2}+\frac{x+1}{x(x-1)^2}\right)\cdot\frac{x-1}{x^3+1}$.

Accepted Answer

$2y-x=-(x-2y)$, поэтому $2y-x-\frac{2y-x}{x}=\frac{(2y-x)(x-1)}x$. Тогда выражение в скобках равно $-\frac{x-1}{3x}$, а всё выражение — $-1$.
$3a-2b+\frac{2b-3a}{2a}=\frac{(3a-2b)(2a-1)}{2a}$. После деления на $a-\frac12=\frac{2a-1}{2}$ получаем $\frac{3a-2b}{a}$. Умножая на $\frac{a^2}{(3a-2b)(3a+2b)}$, получаем $\frac{a}{3a+2b}$.
Разложим знаменатели: $y^3-y^2-y+1=(y-1)^2(y+1)$. Сумма в скобках после приведения к общему знаменателю равна $\frac{2(2y-1)}{(y-1)^2(y+1)}$. Поэтому всё выражение равно $\frac{(2y-1)(2y+1)}{(y-1)^2(y+1)}:\frac{2(2y-1)}{(y-1)^2(y+1)}=\frac{2y+1}{2}$.
Сумма в скобках равна $\frac{x^2-x+1}{x^2(x-1)^2}$. Так как $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$, всё выражение упрощается до $\frac1{x^2(x+1)}$.

Ответ: а) $-1$; б) $\frac{a}{3a+2b}$; в) $\frac{2y+1}{2}$; г) $\frac1{x^2(x+1)}$.